Matemática discreta Ejemplos

$65 = \frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} = 65$ .

$\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} = 65$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $1 + 5 e^{- 0.8 x}$ .

$\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} (1 + 5 e^{- 0.8 x}) = 65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $1 + 5 e^{- 0.8 x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{75}{1 + 5 e^{- 0.8 x}} (1 + 5 e^{- 0.8 x}) = 65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$75 = 65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $65 (1 + 5 e^{- 0.8 x})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$75 = 65 \cdot 1 + 65 (5 e^{- 0.8 x})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $65$ por $1$ .

$75 = 65 + 65 (5 e^{- 0.8 x})$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $5$ por $65$ .

$75 = 65 + 325 e^{- 0.8 x}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $65 + 325 e^{- 0.8 x} = 75$ .

$65 + 325 e^{- 0.8 x} = 75$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $65$ de ambos lados de la ecuación.

$325 e^{- 0.8 x} = 75 - 65$

Paso 4.2.2

Resta $65$ de $75$ .

$325 e^{- 0.8 x} = 10$

Paso 4.3

Divide cada término en $325 e^{- 0.8 x} = 10$ por $325$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $325 e^{- 0.8 x} = 10$ por $325$ .

$\frac{325 e^{- 0.8 x}}{325} = \frac{10}{325}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $325$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{325 e^{- 0.8 x}}{325} = \frac{10}{325}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $e^{- 0.8 x}$ por $1$ .

$e^{- 0.8 x} = \frac{10}{325}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $325$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$e^{- 0.8 x} = \frac{5 (2)}{325}$

Paso 4.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $325$ .

$e^{- 0.8 x} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 65}$

Paso 4.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- 0.8 x} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 65}$

Paso 4.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- 0.8 x} = \frac{2}{65}$

Paso 4.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 0.8 x}) = \ln (\frac{2}{65})$

Paso 4.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.5.1

Expande $\ln (e^{- 0.8 x})$ ; para ello, mueve $- 0.8 x$ fuera del logaritmo.

$- 0.8 x \ln (e) = \ln (\frac{2}{65})$

Paso 4.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 0.8 x \cdot 1 = \ln (\frac{2}{65})$

Paso 4.5.3

Multiplica $- 0.8$ por $1$ .

$- 0.8 x = \ln (\frac{2}{65})$

Paso 4.6

Divide cada término en $- 0.8 x = \ln (\frac{2}{65})$ por $- 0.8$ y simplifica.

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Paso 4.6.1

Divide cada término en $- 0.8 x = \ln (\frac{2}{65})$ por $- 0.8$ .

$\frac{- 0.8 x}{- 0.8} = \frac{\ln (\frac{2}{65})}{- 0.8}$

Paso 4.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común de $- 0.8$ .

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Paso 4.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.8 x}{- 0.8} = \frac{\ln (\frac{2}{65})}{- 0.8}$

Paso 4.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{65})}{- 0.8}$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{65})}{0.8}$

Paso 4.6.3.2

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{2}{65})}{0.8}$

Paso 4.6.3.3

Divide $2$ por $65$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (0.0\overline{307692})}{0.8}$

Paso 4.6.3.4

El logaritmo en base $2.71828182$ de $0.0\overline{307692}$ es aproximadamente $- 3.48124008$ .

$x = - \frac{- 3.48124008}{0.8}$

Paso 4.6.3.5

Divide $- 3.48124008$ por $0.8$ .

$x = - - 4.35155011$

Paso 4.6.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 4.35155011$ .

$x = 4.35155011$